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Screen Capture
MediaDevices.getDisplayMedia() - Web APIs | MDN
Using the Screen Capture API - Web APIs | MDN
getDisplayMedia API を利用することで画面キャプチャを行う事ができます。 ただし、この機能はかなりブラウザに依存します。
Chrome の場合は Chrome タブでは音声共有を有効にすることができます。 Firefox や Safari では音声の取得はできません。
Chrome タブの音声共有機能